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正弦定理(Law of sine)

发表于2020-07-18


正弦定理:若 \(\Delta{ABC}\) 的三边长 \(\overline{BC}=a,\overline{CA}=b,\overline{AB}=c\),

则恆有性质 \(\displaystyle\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\),此称为正弦定理。

证明:因为 \(a\Delta{ABC}=\frac{1}{2}bc\sin{A}=\frac{1}{2}ca\sin{B}=\frac{1}{2}ab\sin{C}\),

同乘二倍得 \(bc\sin{A}=ca\sin{B}=ab\sin{C}\)

同除 \(abc\) 得 \(\displaystyle\frac{\sin{A}}{a}=\frac{\sin{B}}{b}=\frac{\sin{C}}{c}\),

取其倒数得 \(\displaystyle\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}~-(1)\)。

在不失一般性的情形下,我们以圆内接锐角三角形进行证明,如图一所示。  

正弦定理(Law of sine)

\(\overline{BC}\) 中点 \(M\),则 \(\overline{BM}=\frac{1}{2}\overline{BC}=\frac{a}{2}\),而 \(\angle{BOM}=\frac{1}{2}\angle{BOC}=\frac{1}{2}(2\angle{A})=\angle{A}\),

根据正弦函数定义:\(\displaystyle\sin{A}=\frac{\frac{a}{2}}{R}=\frac{a}{2R}\),\(\therefore\displaystyle\frac{a}{\sin{A}}=2R\)

代入 \((1)\) 得 \(\displaystyle\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\),得证。

正弦定理特例:如果我们假设三角形的外接圆直径的长度为 \(1\),则正弦定理会转换成 \(a=\sin{A},b=\sin{B},c=\sin{C}\),这个结论显示出内接于直径为 \(1\) 的圆,此三角形边长等于对角的正弦值,而这个边长就是三角形在圆上所张开的弦长,如图二所示。

正弦定理(Law of sine)

高中的正弦定理是国中几何中「三角形中,大边对大角,小边对小角,反之亦然。」的具体量化定理,透过正弦定理,我们可以导出正切定理(Law of tangent):

\(\displaystyle\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan(\frac{A-B}{2})}{\tan(\frac{A+B}{2})}\)。

证明:

\(\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{a-b}{a+b}&\displaystyle=\frac{2R\sin{A}-2R\sin{B}}{2R\sin{A}+2R\sin{B}}=\frac{\sin{A}-\sin{B}}{\sin{A}+\sin{B}}\\&\displaystyle=\frac{2\sin(\frac{A-B}{2}\cos(\frac{A+B}{2}))}{2\sin(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2})}\\&\displaystyle=\frac{\tan(\frac{A-B}{2})}{\tan(\frac{A+B}{2})}\end{array}\)

正弦定理推广:四面体 \(OABC\) 中,如图三所示,我们透过正弦定理的应用可得下列性质:

\(\sin\angle{OAB}\cdot\sin\angle{OBC}\cdot\sin\angle{OCA}=\sin\angle{OAC}\cdot\sin\angle{OCB}\cdot\sin\angle{OBA}\)

正弦定理(Law of sine)

正弦定理还可以延伸至光学的司乃耳定律(Snell’s Law),这个公式是用来描述光的行进路径,其入射角 \(\angle{AOP}=\theta_1\) 的正弦函数值 \(\sin\theta_1\)、折射角 \(\angle{BOQ}=\theta_2\) 的正弦函数值 \(\sin\theta_2\) 与光在不同介质的速率 \(v_1,v_2\) 的关係,如图四所示:

正弦定理(Law of sine)

因为光经过两个介质的时间 \(\displaystyle{t}=\frac{\overline{PO}}{v_1}+\frac{\overline{OQ}}{v_2}=\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{v_1}+\frac{\sqrt{b^2+(d-x)^2}}{v_2}\),

解出 \(\frac{dt}{dx}=0\),即光在两个介质间所费时间的最小值,微分得

\(\displaystyle\frac{1}{v_2}\cdot\frac{1}{2}(a^2+x^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot{2}x+\frac{1}{v_2}\cdot\frac{1}{2}[b^2+(d-x)^2]^{\frac{1}{2}}\cdot{2}(d-x)\cdot(-1)=0\),

整理上式得 \(\displaystyle\frac{x}{v_1\cdot\sqrt{a^2+x^2}}=\frac{d-x}{v_2\cdot\sqrt{b^2+(d-x)^2}}\),

即 \(\displaystyle\frac{\frac{x}{a^2+x^2}}{v_1}=\frac{\frac{d-x}{b^2+(d-x)^2}}{v_2}\),

根据三角函数定义得 \(\displaystyle\frac{\sin\theta_1}{v_1}=\frac{\sin\theta_2}{v_2}\),透过一些转换,就可将上式写成司乃耳定律:

\(\displaystyle\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\frac{v_1}{v_2}=\frac{n_2}{n_1}\),

其中 \(n_1,n_2\) 分别是两个介质的折射率(refractive index)。

司乃耳定律是汤玛斯.哈力特 (Thomas Harriot, 1560-1621) 在1602 年所发现的,虽然他曾与克卜勒 (JohannesKepler, 1571-1630) 通信时谈论此定律,可惜,他未发表此结果。到了1621 年,司乃耳 (Willebrord Snellius, 1580-1626) 导出此一相关数学恆等式,可是终其一生也未曾出版。

直到1637 年,笛卡儿 (René Descartes, 1596-1650) 在其作品《方法论》(Discourse on Method) 利用有启发性的动量守恆原理导出此一定律,而且,他还利用此一定律解决许多光学方面的问题。最后,费玛 (Pierre de Fermat, 1601-1665) 採取光行进的最短时间原理,而证明此一定律等式,我们上一段所述的证明过程,就是仿自他的版本。

参考资料

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