主页 > 十大应用 >正弦定律 (The Sine Law) >


正弦定律 (The Sine Law)

发表于2020-07-18

在现行高中课程中,对于正弦定律的推导常是透过三角形面积公式为媒介:

如图一,给定三角形 \(\Delta ABC\) ,则三角形 \(\Delta ABC\) 的面积为

\(\displaystyle\frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}bc\sin A\)

因此,\(\displaystyle\frac{{\sin C}}{c} = \frac{{\sin B}}{b} = \frac{{\sin A}}{a} \Rightarrow \frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)

正弦定律 (The Sine Law)


即为正弦定律。也就是 \(a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C\),满足「大边对大角,小边对小角」定量化的描述。儘管这个推导的进路简单易懂,然而,谈到正弦定律,通常还会提到等式的比值为 \(2R\),其中 \(R\) 为 \(\Delta ABC\) 的外接圆的半径,即 \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)。

但是,这个比值在上述的推导中是不会出现的。因此,若要适切地引导出这个性质,恐怕得要考虑其他的教学进路。事实上,透过锐角三角函数的几何表徵(请参阅网站另一篇文章〈锐角三角函数的几何表徵〉),是可以圆满地解决这个问题。

正弦定律 (The Sine Law)

图二

由于三角函数可以看成角度对应之圆上的某些线段长,不妨考虑锐角 \(\Delta ABC\) 及其外接圆(如图二),则 \(\angle A = \theta \),\(\displaystyle\overline{CH}=\frac{1}{2}a\)。因此,在直角三角形 \(\Delta COH\) 中,

\(\displaystyle\frac{{\frac{1}{2}a}}{R} = \sin \theta= \sin A \Rightarrow \frac{a}{{\sin A}} = 2R\)

同理,\(\displaystyle\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)。所以,\(\displaystyle\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)。

正弦定律 (The Sine Law)

图三

至于钝角三角形的情况,则如图三。其中,钝角 \(\angle A = \frac{1}{2}(360^\circ- 2\theta ) = 180^\circ- \theta \)

因此,\(\displaystyle\sin A = \sin (180^\circ- \theta ) = \sin \theta= \frac{{\frac{1}{2}a}}{R} \Rightarrow \frac{a}{{\sin A}} = 2R\)。

若是 \(\angle B,~\angle C\),只要延长 \(\overline{OB}\) 或 \(\overline{OC}\) 至圆上,再连接 \(A\) 即得图二的情形。

最后,对于直角三角形,只是特例情形,就请读者自己动手了。在笔者的课堂上,将上述进路设计成引导式的问题,利用学习单让学生们分组讨论,通常学生都能顺利推导出正弦定律,享受自己发现定理的乐趣。

上一篇:
下一篇: