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正弦函数与週期性(Sine Function and Per

发表于2020-07-18

摘要:本文举例说明日常生活中隐藏的正弦函数。

正弦函数与週期性(Sine Function and Per

高中数学很大部分的课程是在学习基本函数图形:高一的多项式函数、指数函数、对数函数,高二以后的三角函数… 。

不同的基本函数有不同的特性,多项式是最简单的函数,曾有一首打油诗描述多项式的特色:「加减乘除都好算,曲线优美不间断,多项式,讚!」用数学语言更精确的说明,「曲线优美」就是微分连续,「不间断」是指其为连续函数,不过此特性并非那幺独特,指对数或三角函数也都是「曲线优美不间断」,多项式更重要的特色是运算简单,所以我们很喜欢用多项式逼近其他函数;指数函数的特色是同样时间间隔内成长倍数相同」;那幺,三角函数的特性是什幺呢?

让我们先看看正弦及余弦的图形:

正弦函数与週期性(Sine Function and Per

用最自然的语言描述上面的图形应该是:非常漂亮的波浪!正余弦函数最大的特色是不断重複起伏,换句话说是「週期性」。

三角函数在哪里

以下三个图形皆与三角函数图形有关,图一为一辆行驶中的脚踏车,三角函数在哪里?图二为摆荡的手臂,三角函数在哪里?图三为2010 年3 月14 日Google 台湾的首页图案,因圆周率的近似值为 $$3.14…$$,故在 3 月 14 日画了许多与圆周率有关的图案,那幺,三角函数在哪里?

正弦函数与週期性(Sine Function and Per

仔细找找,就会在 Google 中间两个 o 发现一个正弦波,即 $$y=\sin x$$ 其中一个週期,「圆」周率的日子竟与「三角」函数有所牵扯!

「圆」与「三角」的牵扯还不仅于此,若图一的脚踏车轮子半径为 $$1$$,假设有人骑车骑到一半不小心压到了黄色的油漆,则往后当脚踏车行进时,轮胎上的黄色记号也会跟着转动。

若以过轮轴的水平线为基準,低于此水平的距离记为负向,则黄色记号离中心的垂直高度 $$h(t)$$ 会在正负一单位间摆荡。已知轮子周长为 $$2\pi$$,所以当轮子滚动 $$2\pi$$ 距离后,轮胎上的黄色记号也会刚好回到它开始的位置。如果我们令此记号初次与轮轴等高为 $$t=0$$,即 $$h(0)=0$$,那幺 $$h(t)$$ 在一个週期 $$(2\pi)$$ 后会回到 $$0$$,更确切的说,$$h(t)$$ 就是一个正弦函数。

正弦函数与週期性(Sine Function and Per

想要欣赏此函数与轮子的动画,可参考以下网址

摆荡的手臂若以肩膀为圆心,该如何描述手肘离地面的距离 $$d$$ 呢?假设手肘最多摆荡到与肩膀同高的位置,且肩膀离地面高度为 $$H$$,则

$$d(t)=H-\sin(t)$$,其中 $$0\le t\le \pi$$

正弦函数与週期性(Sine Function and Per

在真实世界中的许多现象若「粗略」描述都有「週期性」,所谓「週期性」是指每隔固定时间就会重複固定现象的行为,如年复一年的春夏秋冬,而依循四季的人类活动也就常常表现出週期性了,想要粗略建立週期的模型,最常用的就是正弦及余弦函数,看来我们还会在其他地方发现三角函数的蹤迹!

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